▬▬▬▬❚❂❚❂❚❚❂❚❂❚▬▬▬
══════════════════
______________________________
संकलन गजानन गोपेवाड
~==========================~
*कुतूहल : द्विपद प्रमेय*
~प्रा. सलिल सावरकर
-
गणितातील प्रसिद्ध प्रमेयांच्या मालिकेतील एक प्रमेय म्हणजे बीजगणितातील द्विपद प्रमेय (बायनॉमिअल थिअरम)! ‘अ’ आणि ‘ब’ या कोणत्याही दोन पदांसाठी (अ+ब)२ = अ२ + २अब + ब२, हे सूत्र आपण शालेय बीजगणितात शिकतो. (अ+ब)(अ+ब) हा गुणाकार सोडवून सदर सूत्र सिद्ध होते. तसेच (अ+ब)(अ+ब)(अ+ब) असा गुणाकार म्हणजेच (अ+ब)३ करून अ३ + ३अ२ब + ३अब२ + ब३ हे सूत्र मिळेल; (अ+ब)४ = अ४ + ४अ३ब + ६अ२ब२ + ४अब३ + ब४ हे सूत्रही मिळू शकते. जर ‘न’ हा कोणताही धन पूर्णांक असेल तर (अ+ब)न साठी (अ+ब) या राशीचा तिच्याशीच ‘न’वेळा गुणाकार करून आवश्यक सूत्र नक्कीच मिळवता येईल.
तथापि, या वेळखाऊ मार्गाऐवजी एखादे सर्वसमावेशक सूत्र तयार करता येईल का? याचे उत्तर म्हणजे (अ+ब)न, याचे सूत्र द्विपद प्रमेय हे महत्त्वाचे प्रमेय देते. त्याच्या विविध सिद्धता न देता ते सोप्या तºहेने समजून घेऊ. त्यासाठी वरील तीन सूत्रांकडे पाहा. त्यांच्यात उजवीकडे असलेल्या पदांची संख्या ही डावीकडील घातांकापेक्षा एकने जास्त आहे, तसेच उजवीकडील पदांमध्ये ‘अ’चा घातांक पदागणिक एकेक कमी, तर ‘ब’चा घातांक एकेक वाढतो आहे. त्यामुळे (अ+ब)न च्या सूत्रासाठी आता फक्त प्रत्येक पदाचे सहगुणक हवे आहेत. त्यासाठी पिंगल (इ.स.पूर्व २००) यांनी दिलेला आणि आता ‘पास्कल-त्रिकोण’ नावाने संबोधला जाणारा आकृतीत दाखवलेला प्रस्तार पाहावा.
या आकृतिबंधात डावीकडील आणि उजवीकडील तिरक्या रेषांवर १ आहे; तर इतर कोणताही आकडा त्याच्या डोक्यावरच्या उजवी-डावीकडील दोन आकड्यांच्या बेरजेइतका आहे. यात तिसऱ्या, चौथ्या आणि पाचव्या ओळीतील आकडे हेच क्रमाने (अ+ब)२, (अ+ब)३ आणि (अ+ब)४ यांच्या सूत्रांतील सहगुणक (कोइफिशिअंट्स) आहेत. यावरून (अ+ब)५ = अ५ + ५अ४ब + १०अ३ब२ + १०अ२ब३ + ५अब४ + ब५ हा विस्तार समजेल. आकृतीतील प्रस्तार हवा तितका वाढवून ‘न’च्या कोणत्याही किमतीसाठी (अ+ब)न चे सूत्र लिहिणे सहजसाध्य आहे.
द्विपद प्रमेयाचा वापर राष्ट्रीय अर्थस्थितीचे मापन, अभियांत्रिकी प्रकल्पाचा खर्च व वेळ यांचा अंदाज घेणे, तसेच हवामानाचे भाकीत वर्तवणे अशा अनेक महत्त्वाच्या कार्यांत केला जातो.
~==========================~
*📱गणित 📱*
▬▬▬▬❚❂❚❂❚❚❂❚❂❚▬▬▬▬
════════════════════
कोणत्याही टिप्पण्या नाहीत:
टिप्पणी पोस्ट करा